Cubo di Rubik

Il cubo di Rubik o cubo magico (Rubik-kocka in ungherese) è un celebre rompicapo (in particolare un twisty puzzle) inventato dal professore di architettura e scultore ungherese Ernő Rubik nel 1974. Chiamato originariamente Magic Cube (Cubo magico) dal suo inventore, il rompicapo fu rinominato in Rubik’s Cube (Cubo di Rubik) dalla Ideal Toys nel 1980 e nello stesso anno vinse un premio speciale dalla giuria dello Spiel des Jahres in Germania, unico solitario premiato nella storia del premio. È il giocattolo più venduto della storia, con circa 300 milioni di pezzi venduti, considerando anche le imitazioni.

Descrizione
Il cubo di Rubik presenta 9 quadrati su ognuna delle sue 6 facce, per un totale di 54 quadrati. Solitamente i quadrati differiscono tra loro per il colore, con un totale di 6 colori differenti. Quando il cubo di Rubik è risolto, ogni faccia ha tutti i nove quadrati dello stesso colore. Il rompicapo ha celebrato il 25º anniversario nel 2005, anno nel quale è stata presentata una versione speciale del cubo, con il logo ufficiale – Rubik’s Cube 1980-2005 – stampato su un quadrato di colore bianco.
Lo scopo del gioco è di risalire alla posizione originale dei cubetti portando il cubo ad avere per ogni faccia un colore uguale. Il cubo, nella versione 3×3×3, può assumere ben 43 252 003 274 489 856 000 combinazioni possibili di cui solo una è quella corretta. Il cubo, nella versione Pocket Cube 2×2×2, può assumere 3 674 160 combinazioni possibili, di cui solo una è quella corretta.

Versioni
Il rompicapo è disponibile in 4 versioni principali differenti. In seguito sono state create ulteriori versioni, ma non altrettanto utilizzate. (esempio: vedi Cubo di Rubik 360)
2×2×2 (Pocket Cube)
3×3×3 (Rubik’s Cube)
4×4×4 (Rubik’s Revenge)
5×5×5 (Professor’s Cube)

Recentemente, l’inventore greco Panagiotis Verdes ha brevettato un metodo di creazione del rompicapo per superare la versione 5×5×5, fino ad arrivare a 11×11×11. Questi modelli, che includono un meccanismo migliorato per le versioni 3×3×3, 4×4×4 e 5×5×5, sono adatti per risolvere velocemente il rompicapo mentre le tradizionali versioni del cubo superiori a 3×3×3 tendono a rompersi facilmente. Nel giugno del 2008 sono entrati in vendita i modelli 6×6×6 e 7×7×7. Vi è inoltre una variazione del cubo di Rubik chiamata Sudokube: come suggerisce il nome è una combinazione del cubo con il popolare gioco di logica Sudoku. Tra le versioni non ufficiali, va segnalato anche l’esemplare 17×17×17 perfettamente funzionante, creato dall’esperto olandese Oskar van Deventer sfruttando le nuove possibilità offerte dalla stampa 3D.

Storia
Nella primavera del 1974, mentre si trova nella sua casa a Budapest, capitale dell’Ungheria, Ernő Rubik crea il primo prototipo del cubo di Rubik, progettato a scopi didattici e all’inizio si diffuse solo tra i matematici ungheresi, interessati ai problemi statistici e teorici che il cubo poneva. Questo differiva lievemente da quello odierno: era monocolore, di legno e con gli angoli smussati. L’anno successivo, dopo le modifiche che lo porteranno a essere tale e quale a quello di oggi, Rubik brevetta il cubo e affida alla produttrice di giocattoli Polithechnika il difficile compito della distribuzione del gioco matematico battezzato Magic Cube.
Bisognerà comunque aspettare il 1977 per ottenere la prima vendita dell’allora sconosciuto rompicapo. Da lì in poi le cose miglioreranno notevolmente, finché nel 1980 la Ideal Toys Company ne acquista i diritti per l’esportazione oltre i confini del paese magiaro e decide di rinominarlo Rubik’s Cube, ovvero “cubo di Rubik”. Il cubo diventa famoso al punto che nel 1981 una pubblicazione chiamata You Can Do The Cube, del dodicenne inglese Patrick Bossert, vende in un anno mezzo milione di copie.
Nel solo 1982 ne furono venduti oltre 100 milioni di pezzi e Rubik divenne il cittadino più ricco del suo paese[1]; nello stesso anno hanno inizio anche le competizioni. Nel 1990 Ernő Rubik diventa il presidente della Hungarian Engineering Company e fonda la Rubik International al fine di sostenere i giovani designer. Nel 1995, per celebrare il 15º anniversario del cubo magico, la Diamond Cutters International realizza un cubo di 185 carati fatto d’oro e di gioielli colorati. Nel 2005 per il 25º anniversario viene messa in vendita una speciale e limitata confezione per il cubo di Rubik. Il 5 febbraio 2009 è stato presentato a una fiera in Germania il Cubo 360.

Il cubo dal punto di vista matematico
Dal punto di vista matematico il cubo di Rubik può essere rappresentato come un gruppo. Partendo da una configurazione fissata (in cui tutti i quadratini hanno colori diversi), ogni altra configurazione è ottenibile tramite un’unica permutazione delle 6×9 = 54 caselle colorate. Il gruppo formato da tutte le permutazioni generiche di 54 elementi è il gruppo simmetrico S_{54}, ed è composto da 54! (circa 2,3 × 1071 ) elementi. Il gruppo delle permutazioni possibili in un cubo di Rubik, detto gruppo del cubo di Rubik è generato da tutte le mosse semplici, ossia le 6 rotazioni base che vengono generalmente indicate con le lettere seguenti:
U, D, R, L, F, B.
Tuttavia, gran parte delle permutazioni generiche non sono chiaramente possibili in un cubo di Rubik; ad esempio non è possibile scambiare un quadratino vertice con un quadratino spigolo, non è possibile scambiare una faccia con un’altra faccia usando solo rotazioni base e via dicendo. Il gruppo del cubo di Rubik è un sottogruppo di S_{54} e contiene solo 43 252 003 274 489 856 000 (circa 4,3 × 1019 ) elementi.

Metodi risolutivi
Soluzione a strati
Il più intuitivo metodo risolutivo è il metodo a strati. Consiste nella risoluzione strato per strato. Vi sono 7 passi da effettuare (croce, angoli primo strato, secondo strato, orientamento spigoli, orientamento angoli, permutazione spigoli, permutazione angoli). Questo metodo ha il vantaggio di dover memorizzare pochi algoritmi, ma non è adatto per lo speedcubing, perché risulta molto più lento rispetto ai metodi più avanzati.
Infatti difficilmente con questo metodo si riesce a scendere sotto il minuto, mentre con quelli degli speedcubing la media è di 15-20 secondi. Questo metodo di risoluzione si può riassumere così: croce, formare una faccia, completare il secondo strato, completare l’ultimo strato e la faccia opposta di quella di partenza.
Croce: la croce è il punto di partenza per completare il cubo con questo metodo. Per fare la croce non esistono algoritmi ma bisogna andare ad intuito. Le parti che formeranno la croce saranno la parte centrale di una faccia e gli spigoli a essa adiacenti. Inoltre bisogna tenere conto che lo spigolo deve essere allineato sopra la corrispettiva faccia; per esempio lo spigolo bianco-arancione, la parte bianca andrà vicino alla faccia centrale bianca e quella arancione deve essere allineata alla parte centrale arancione.
Prima faccia: dopo aver fatto la croce ed aver allineato bene gli spigoli con le loro corrispondenti facce centrali, si devono portare gli angoli sulla faccia dove si è fatta la croce per completarla. Ogni angolo ha 3 quadratini; uno dei quali sarà quello che dovrà essere portato sulla faccia di partenza. Gli altri due colori corrispondono a due delle facce laterali, le quali avranno la faccia centrale e lo spigolo sopra già allineato. Ogni angolo deve essere posizionato tra i rispettivi colori delle facce centrali; ad esempio l’angolo bianco-rosso-blu andrà posizionato tra la faccia con il centro rosso e quello blu. Per posizionare gli angoli senza disfare la croce bisogna semplicemente muovere i due strati della faccia con la croce, che non sono interessati di quell’angolo, verso il basso e poi riposizionarlo come prima. Così facendo la croce non sarà distrutta e l’angolo sarà messo al suo posto. Dopo aver completato tutti e quattro gli angoli la faccia sarà completata e anche il primo strato, ovvero quello che si trova nelle facce laterali rispetto a quella di partenza e che è direttamente collegato con essa (posizionato sopra il centro della faccia laterale).
Secondo strato: il secondo strato coinvolge le quattro facce laterali. Il secondo strato è quello che comprende il quadratino centrale di una faccia per completarlo bisogna posizionare gli spigoli in quello stato. Qui ci troviamo davanti al primo algoritmo cioè un movimento fisso che permette di posizionare un determinato spigolo nella sua posizione (ricordiamo che per completare la croce e la prima faccia non c’erano algoritmi, ma andava ad intuito). L’algoritmo non è sempre lo stesso, infatti ce ne sono diversi per completare questo strato, ma sono tutti efficienti. Nel secondo strato abbiamo già la parte centrale posizionata e quindi si deve mettere a posto gli spigoli ad essa adiacenti; ad esempio nella faccia rossa, che è collegata con quelle blu e verdi, bisogna posizionare gli spigoli rosso-blu e rosso-verdi adiacenti alla faccia centrale. Dopo averlo completato ci saranno da completare il terzo strato e l’ultima faccia.
Completare il cubo: questo passaggio è il più difficile non solo perché in alcuni metodi per risolvere questo strato ci sono quattro algoritmi, ma anche perché è la più lunga da completare. Si inizia formando una croce nella faccia opposta a quella di partenza e quella già completata (la faccia opposta al bianco è il giallo, quella del rosso è l’arancione, quella del blu è il verde. Questo vale per la versione originale del cubo, nelle altre versioni i colori possono essere differenti). La croce si forma con un algoritmo così da non distruggere la faccia già fatta e il secondo strato. La croce non deve essere rigorosa come quella della prima faccia; infatti nella prima gli angoli andavano posizionati dopo, in questa gli angoli possono essere anche tenuti insieme alla croce. Dopo aver fatto la croce si guarda lo spigolo che comprende il quadratino della croce nella faccia opposta a quella di partenza e la faccia centrale del terzo strato, l’ultimo da completare. Lo spigolo deve andare sopra gli alti due già posizionati. Gli spigoli devono essere tutti posizionati correttamente per andare avanti. Se invece sono posizionati male si prende una faccia in cui lo spigolo è posizionato bene e si parte con un algoritmo per posizionarli tutti bene. Il secondo caso è quello più frequente e anche in caso di spigoli posizionati male con l’algoritmo che si farà non distruggerà il lavoro fatto prima. Ora si devono posizionare gli angoli. Qui dobbiamo trovare dagli angoli posizionati bene o orientati bene. Posizionati bene significa che i tre quadratini dell’angolo si trovano in mezzo alle tre facce corrispondenti ma in una posizione sbagliata, orientati bene vuol dire che la posizione di cui stavamo parlando prima, è giusta. Ad esempio l’angolo giallo-blu-rosso è posizionato bene quando il quadratino giallo è sulla faccia rossa, quello rosso su quella blu e quello blu su quella gialla. Orientato bene vuol dire che il quadratino giallo è sulla faccia gialla, quello blu su quelle blu, quello rosso su quella rossa. Partendo da un angolo posizionato o orientato bene si parte con un altro algoritmo che andrà a posizionarli bene tutti. Può accadere che siano già tutti posizionati bene. In casi molto rari accade che durante questo algoritmo gli angoli vengono anche orientati bene completando così il cubo saltando un passaggio. L’ultimo passaggio consiste nell’orientare bene tutti gli angoli completando il terzo strato e la faccia opposta a quella di partenza. Qui ci vuole ancora un algoritmo, non difficile da memorizzare, ma molto rischioso perché questo algoritmo non manterrà fisse le posizioni della faccia di partenza e il secondo strato ma le scombinerà per poi rimetterle a posto. Dopo questo algoritmo il cubo sarà completato.

Altri metodi
Il metodo Petrus, inventato da Lars Petrus, consta di 7 fasi: costruire il cubo 2×2×2, allargarlo a 2×2×3, orientare gli spigoli, completare 2 superfici, posizionare gli angoli, orientare gli angoli, posizionare gli spigoli. Ha il vantaggio di non disfare quasi mai la parte del cubo che si è già costruita. Il metodo Fridrich, che prende il nome dalla sua inventrice, Jessica Fridrich, raggruppa secondo-terzo, quarto-quinto, sesto-settimo passaggio del metodo a strati in singoli passaggi. Esso è il metodo generalmente più veloce, ed il più usato dagli speedcuber professionisti.
Implica la memorizzazione di 78 algoritmi solo per l’ultimo strato (PLL e OLL); è anche chiamato CFOP che sarebbe l’acronimo delle fasi in cui si divide: Cross (croce), F2L (primi 2 strati), OLL (orientazione dell’ultimo strato) e infine PLL (permutazione dell’ultimo strato)[2]. Esiste anche un metodo semplificato del metodo Fridrich, il quale comprende F2L intuitivo e non comporta di imparare tutti i PLL e tutti gli OLL, ma imparare solamente 10 PLL e 6 OLL. Ovviamente questo metodo non sarà mai veloce come il metodo Fridrich completo, ma permette di risolvere il cubo in 40-45 secondi, rendendolo quindi la via di mezzo tra metodo a strati e Fridrich.
Vi sono, inoltre, altri metodi come il corner first e lo ZB (il più complesso in assoluto con più di 800 algoritmi). Alcuni metodi non sono utili allo speedcubing, ma al blindfold cubing, ovvero la risoluzione del cubo da bendati. Il risolutore impara a memoria il cubo e successivamente si benda e lo risolve senza più guardarlo. La teoria di base per quasi tutti i metodi sta nello spostare, tramite algoritmi specifici, pochi pezzi alla volta del cubo, riuscendo così a tenere a mente l’ordine delle modifiche effettuate. Tra i più famosi metodi per il blindfold cubing risaltano quelli inventati da Stefan Pochmann: il metodo omonimo (per principianti del blindfold cubing) e il metodo M2/R2, decisamente avanzato, ma molto più rapido.

Numero massimo di mosse teoricamente sufficienti per la risoluzione
È il numero massimo di rotazioni singole matematicamente in grado di far ottenere una qualunque delle 43 miliardi di miliardi di combinazioni che il cubo può formare, a partire da qualunque altra. Di conseguenza tale numero assicura anche la risoluzione. Nel 1982 David Singmaster e Alexander Frey ipotizzarono che il numero teorico massimo sufficiente di mosse per la risoluzione del cubo di Rubik, a partire da qualsiasi configurazione iniziale, potesse essere intorno a venti.
Nei primi anni ottanta Morwen Thistlethwaite, di professione informatico, riuscì a dimostrare con un calcolatore che era sempre possibile riordinarlo con, al massimo, 52 mosse. Nel 2007, Dan Kunkle e Gene Cooperman (il suo professore), usando metodi di ricerca computerizzati, hanno dimostrato come una qualsiasi configurazione di un cubo 3×3×3 possa essere risolta in un massimo di 26 mosse[3] [4]. Nel marzo 2008 Tomas Rokicki, programmatore e matematico dell’università di Stanford, ha dimostrato che tale limite è riducibile a 25 mosse[5]. Nel mese successivo sempre il professor Rokicki, assieme a John Welborn, dimostrarono che tale limite era riducibile a 23 mosse, mentre nell’agosto dello stesso anno dimostrarono che il limite massimo scendeva a 22 mosse[6]. Nel luglio 2010 il limite massimo di mosse è sceso a 20.
Tale dimostrazione è stata realizzata da un gruppo di ricercatori, composto sempre dal professor Tomas Rokicki, da Morley Davidson, matematico presso la Kent State University, John Dethridge, ingegnere di Google e Herbert Kociemba, insegnante di matematica di Darmstadt. La potenza di calcolo necessaria a testare gli algoritmi è stata fornita da Google, che però non ne ha specificato l’entità[7].
Il limite di 20 mosse non può essere ulteriormente abbassato ed è quindi definitivo, in quanto esistono alcune configurazioni del cubo, come il cosiddetto “superflip”, per le quali è stato dimostrato che la risoluzione comporta un numero di mosse non minore di 20. Il record mondiale per la risoluzione nel minor numero di mosse durante una competizione appartiene al Giapponese Tomoaki Okayama (岡山友昭), il quale lo ha risolto in 20 mosse[8]. Infine, in un articolo apparso sulla rivista “New Scientist”, Erik Demaine con i suoi compagni del MIT ha dimostrato come per un cubo di ordine n, il numero di mosse per risolverlo sia pari a n2/log(n)

Record
La World Cube Association è l’associazione che si occupa dell’organizzazione di eventi in tutto il mondo. Essendo l’unica e più autorevole associazione mondiale si considerano validi i tempi raggiunti nelle competizioni organizzate da questa associazione.
I record del mondo sono:
Tempo singolo: 5″25[9] realizzato da Collin Burns nel mese di aprile del 2015.
Media 3 su 5: 6″54[10] realizzato da Feliks Zemdegs al Melbourne Cube Day 2013[11] con i tempi 6″91, 6″41, 6″25, 7″30 e 6″31.

Mentre i record italiani sono:
Tempo singolo: 6″64 realizzato da Nicola Barbaro al Small CubingItaly 2015[12].
Media 3 su 5: 8″48[13] realizzato da Paolo Moriello all’Eretum Open 2014[14] con tempi 8″90, 7″94, 9″31, 8″59 e 7″61.

Minh Thai, studente vietnamita di Los Angeles, vinse il primo World Rubik’s Cube Championship 1982[15] il 5 giugno 1982 per la risoluzione del cubo di Rubik, impiegando 22″95. L’ultimo campionato mondiale è stato il World Rubik’s Cube Championship 2013[16] che si è svolto dal 26 al 28 luglio 2013 a Las Vegas in Nevada, Stati Uniti.

Note
1.^ (EN) Storia del cubo di Rubik, dal sito rubiks.com
2.^ (EN) Sito ufficiale di Jessica Fridrich
3.^ D. Kunkle, C. Cooperman, Twenty-Six Moves Suffice for Rubik’s Cube, in Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC ’07), ACM Press, 2007.
4.^ Julie J. Rehmeyer, Cracking the Cube, MathTrek.
5.^ Tom Rokicki, Twenty-Five Moves Suffice for Rubik’s Cube.
6.^ Twenty-Two Moves Suffice for Rubik’s Cube, in The mathematical intelligencer, Volume 32, Number 1, Springer Science+Business Media, LLC, 2010.
7.^ Sito ufficiale dell’impresa. URL consultato il 13 agosto 2010.
8.^ Sequenza dei record sul sito della World Cube Association
9.^ Video del record del mondo ufficiale
10.^ Video della media record del mondo ufficiale
11.^ Risultati Melbourne Cube Day 2013
12.^ Risultati Small CubingItaly 2015
13.^ Video della media record italiana ufficiale
14.^ Risultati Eretum Open 2014
15.^ Risultati World Rubik’s Cube Championship 1982
16.^ Risultati World Rubik’s Cube Championship 2011